Dimensionsanalys - övningar
| DIMENSIONSANALYS | ||
|---|---|---|
| Vilken är den beroende variablen?
(Det brukar vara variationen i denna man undersöker när man ändrar de andra variablerna) T.ex. Svängningstid för en pendel. Skriv den beroende variabeln i vänstra rutan och dess enhet (alternativt dimension) i den högra. | ||
| Vilka är de oberoende variablerna? Skriv först ned de variabler som kan ändras kontrollerat, t.ex. massan och längden i fallet med pendeln. Skriv variabel i vänstra rutan och enhet (eller dimension) i den högra. | ||
| Skriv sedan på samma sätt ned variabler
som skulle kunna vara annorlunda, även om vi inte enkelt kan komma
åt att ändra på det (t.ex. g, eller kanske olika materialegenskaper).
Du behöver bara ta med variabler som kan tänkas påverka den
beroende variabeln.
(När man skriver ned enheter är det viktigt att skriva om till
grundenheter, kg, m, s, A,... Man skriver alltså om och utnyttjar t.ex.:
N = kgm/s2 och J = kg. m2 /s2) (DIMENSIONEN för kraft, t.ex., blir då MLT-2 och för energi:M L2 T-2) | ||
| ANSATS: Skriv ned en produktansats där den beroende variabeln uttrycks som en produkt av en dimensionslös konstant, C, gånger olika potenser av de oberoende variabeln, t.ex. T=C ma lb gc i fallet med pendeln. | ||
| Sätt in enheter (eller dimensioner) för alla variabler i sambandet. (se upp med att enheten för massa inte är m!) Eftersom enheterna måsta vara lika på höger och vänsterled måste potenserna för varje grundenhet vara densamma. (Saknas enheten blir potensen 0.) Samla ihop potenserna enhet för enhet: | ||
| Skriv först ned alla potenser för tid, T, (eller sekund, s). I fallet med pendeln får man potensen 1 i vänsterledet och potensen -2c i högerledet (från g) | ||
| Skriv sedan ned alla potenser för längd, L (eller meter, m). I fallet med pendeln finns det inte någon längd på vänsterledet, som alltså har potensen 0 för L. Högerledet i ansatsen har potensen (b+c) för längd. (från lb och gc). | ||
| Skriv ned potensen för massa. (Vad händer med massan i fallet med pendeln?) | ||
| Om du har ytterligare dimensioner / enheter i problemet, skriv ned samband för dem också | ||
| Du har nu ett (vanligtvis enkelt) ekvationssystem med några få obekanta. Lös det för att få ut värden på a,b,c... (Ibland räcker inte ekvationerna för att lösa ut alla obekanta, då får man försöka bestämma ytterligare samband från experiment.) | ||
| Sätt in värdena för a,b, c... i ansatsen och skriv ned det samband du fått fram. | ||
| Är sambandet rimligt? Kan du undersöka det på något sätt? Hur kan du bestämma den dimensionslösa konstanten? | ||
Exempel på uppgifter att lösa med dimensionsanalys
- En pendels svämngningstid kan tänkas bero på ett antal variabler, t.ex. pendelns längd, massa och tyngdacceleration. Använd dimensionsanalys för att ta fram ett samband mellan perioden och dessa variabler. Utnyttja att "sekundpendeln" där en halvperiod en sekund är c:a 1 m för att uppskatta svängningstiden för Kulingen på Liseberg, där man sitter 13 m från axeln.
-
En fallskärmshoppare som hoppar bromsas på grund av
luftmotståndet och uppnår så småningom en högsta hastighet.
Hur stor blir den?
Antag att den beror på föremålets
yta, A, luftens densitet,
och
tyngdkraften (mg).
Använd dimensionsanalys för att härleda ett samband. Hur skulle du kunna undersöka det? - Såpbubbla. Att det går bättre att blåsa såpbubblor med diskmedel eller något annat som reducerar ytspänningen vet vi. Att det måste finnas ett visst övertryck i bubblan vet vi också. Härled ett samband som visar hur bubblans radie beror på ytspänning (enhet N/m eller "energi/yta") och övertryck (Pa = N/m2). Stämmer det med din intuition? Vilka slutsatser kan du dra om den gemensamma ytan när en stor och liten bubbla sitter ihop? Prova och se om resultatet stämmer!
- En planet hålls i sin bana runt solen av gravitationen. Gravitationskonstanten G har enheten N m2/kg2. Hur beror planetens omloppstid runt solen på avståndet och på solens massa. (Omloppstiden beror inte på planetens massa - varför?) Stämmer det med Keplers 3:e lag?
- Flykthastigheten från en planet beror på planetens radie, R, massa, M, och på gravitationskonstanten, G (se uppgiften ovan) Härled ett uttryck för flykthastigheten. Skulle du i stället kunna härleda ett uttryck direkt från tyngdaccelerationen g? Kan du härleda ett samband och uttrycka g som funktion av G,M, och R?
http://www.fysik.org/fortbildning/laerarlyftet/2017/kraft/dimension
Ann-Marie Pendrill