lu.se

Denna sida på svenska This page in English

Strålningsbalans och energibudgetmodeller

Väder och klimat är en del av det centrala innehållet också för grundskolans högstadium, där bl.a. strålningsbalans nämns, även om behandlingen i grundskolan är mer översiktlig. På gymnasienivå kan man öka inslagen av matematisk modellering, med exempel som ger rimliga resultat även med enkla modeller, som sedan kan förbättras och förfinas.

Som ett första exempel används Stefan-Boltzmanns lag för att uppskatta temperaturen på en planet på avståndet D från solen. Temperaturen för solsystemets planeter jämförs med data från NASA, och som kompletterande uppgift jämförs termisk rörelse och flykthastighet på olika planeter. Vilka konsekvenser har detta för planetens atmosfär?

Ett andra exempel är temperaturen på månens belysta sida, där astronauterna från Apollo 12 har kunnat genomföra mätningar på plats att jämföra med beräkningarna. Det är också möjligt att göra mätningar från jorden med hjälp av en IR kamera. Detta exempel visar latitudens betydelse för temperaturen. Vinkelns betydelse för ljusintensiteten studeras också med hjälp av telefonens ljussensor.

Avslutningsvis diskuteras Solarkonstanten som anger solstrålningen vid jordens medelavstånd till solen. 

Om den utstrålade effekten är mindre än den instrålade kommer planeten att värmas upp, och om den utstrålade effekten är mindre kyls den av. Man kan då inte tala om strålningsbalans, utan om energibudgetmodeller. I senare delar av modulen (2, 6) studeras mer avancerade energibudgetmodeller. 

Planettemperaturer och avståndets betydelse

Som en första approximation för att uppskatta temperaturen på en planet, p, på avståndet D från solen behandlar vi både planeten och Solen som perfekta svartkroppsstrålare, dvs den utstrålade effekten per ytenhet är σT4, enligt Stefan Boltzmanns lag. Stefan-Boltzmanns konstant har värdet 

 σ = 5,67·10 −8W m-2 K-4.

Vi antar också att planeten absorberar 100% av strålningen från solen.

Den totala utstrålade effekten från solen, med radie R och ytan 4πR2blir då P=R2 σTs4. På avståndet D från solen har denna effekt fördelats på en mycket större yta, 4πD2. Där blir alltså effekten per ytenhet av strålningen från solen mindre: σTs4 (R/D)2.

En planet med radie r på avståndet D från solen tar emot den totala effekten 

Ps = π rσTs4 (R/D)2.

Om vi som en första approximation antar att hela planeten har samma temperatur (Tp)  så kommer den att stråla ut effekten 

Pp = 4π rTp4.

Vid strålningsbalans gäller att utstrålad och instrålad effekt är lika, dvs Pp Ps. Detta kan användas för att få ett approximativt värde för planetens medeltemperatur:

Tp = Ts (R/2D)1/2 

Detta är ett exempel på fysik som det systematiska överförenklandets konst.

Övningar:

Använd relationen mellan planettemperatur och soltemperatur för att göra en teoretisk uppskattning av temperaturerna för planeterna i solsystemet. På  NASAs faktablad om planeterna finns avstånd och uppmätta temperaturer att jämföra med.

  • Diskutera möjliga orsaker till den stora avvikelsen för Venus.
  • Vid vilken våglängd blir den utstrålade intensiteten som störst för de olika planeternas temperaturer? (Använd Wiens förskjutningslag.)

Se separat sida med länk till kalkylark, exempel på Matlab-kod och förslag på formulering av elevuppgift. I kalkylarket finns också inlagt beräkning av flykthastighet för de olika planeterna som kan relateras till den genomsnittliga kinetiska energin för olika molekyler.

Månens belysta sida och vinkelns betydelse

Månen vänder alltid samma sida och rör sig runt jorden ett varv på en knapp månad. Solen går upp och ned en gång per varv. Det blir därför väldigt stor skillnad i temperatur mellan månens ljusa och mörka sida. För en punkt där solen står i zenit kan vi då uppskatta temperaturen till 

Tm = Ts (R/D)1/2 

där R ≈ 0,7 Gm är solens radie och D ≈ 150 Gm är avståndet mellan Solen och Månen (eller Solen och Jorden). Alternativt kan man använda uppskattningen att Solen upptar en vinkel 0,5° vilket ger (2R/D) ≈ π (0.5/180), där vinkeln är uttryckt i radianer. 

Diskutera sedan:

  • Hur ändras temperaturen med solhöjd?
  • Hur ofta är det soluppgång på månen?
  • Och vad händer när det blir månkväll och månnatt? 
  • När under måndygnet är det som kallast?
  • Hur förväntar ni att en graf över hur temperaturen varierar under en månad ser ut?
  • Vilken skillnad är det mellan himlens utseende under en soluppgång på månen och jorden? (Se några av NASAs månbilder från Apollo-astronauterna.)

Som en inledning till diskussioner av lokalklimat kan man också titta på fotografier av månens yttemperatur - eller kanske själv fotografera med en IR-kamera på skolan.

IR-bilden från månen är hämtad från:Vollmer, M. and K. P. Möllmann (2012). ”Surface temperatures of the Moon: measurements with commercial infrared cameras.” European Journal of Physics 33(6): 1703-1719. (Figur 10b) doi:10.1088/0143-0807/33/6/1703 (© IOP Publishing Ltd. Reproduced with permission.  All rights reserved.)

Ljusintensitet och solhöjd.

Om du har en telefon med ljussensor kan du prova att mäta hur ljusintensiteten beror på vinkeln till ljuskällan. (Se också ett mer utförligt lektionsförslag The reason for the season)

Instrålningens beroende av solhöjden φ, kan också beräknas teoretiskt som S sin φ, där S kallas Solarkonstanten och är definierad som solstrålningens effekt (utanför atmosfären) vid jordens medelavstånd till solen.

För temperaturen på månen, där materialet i marken leder bort väldigt lite värme, innebär det att temperaturen kan uppskattas med uttrycket σT4 ≈ S sin φ.

Vi får då T≈ (S sin φ / σ)1/4

Uttrycket för temperaturen kan skrivas in i kalkylark eller annat program för att få figuren till vänster.

På jorden jämnas temperaturerna ut av vindar och havsströmmar. 

Solarkonstanten

Solarkonstanten är uppmätt till  S=1361 W/m2. Det numeriska värdet på solarkonstanten påverkas bl.a. av solfläckar som varierar på en 11-års-cykel. På mycket längre tidsskalor varierar jordaxelns lutning och excentriciteten i jordens bana vilket också påverkar den genomsnittliga effekt som tas emot av jorden. Detta påverkar i sin tur jordens albedo. Dessa periodiska variationer kallas Milankovitch-cykler och kommer att tas upp i mer detalj i del 5. 

Atmosfären och värmestrålningen från jorden

I exemplet med temperaturer för de olika planeterna i solsystemet försummades atmosfären. För de flesta planeterna ger detta en relativt god överensstämmelse, medan den temperaturen på Venus är mycket högre än förväntat. Man brukar säga att Venus har en skenande växthuseffekt.

Bilden visar ett exempel på hur strålningsbalansen på jorden skulle kunna beskrivas om man antar att all värmestrålning från jorden skulle absorberas i atmosfären.

Atmosfärens yttre lager nås av effekten π rS. En del av denna effekt reflekteras, vilket beskrivs av albedot, α, medan (1-α) π rS når jordens yta. 

Enligt Stefan-Boltzmanns lag blir den total utstrålningen från jorden 4π r2 σTs4 om jordens temperatur är Ts.

Vi antar i denna förenklade modell att all den utstrålade effekten absorberas i atmosfären som i sin tur sänder ut värmestrålning både mot rymden och mot jorden. Atmosfären kommer då att ha en annan temperatur, Ta, än jordens yta.

Vid strålningsbalans i denna modell gäller för jordens yta

(1-α) π rS + 4π rσTa4  = 4π rσTs4.

För atmosfären får vi i stället

rσTa4 = 2 α π rS.

Kombination av uttrycken ger

Ta = ((1- α)·S/(4·σ))1/4

Ts = 21/4· Ta

Jordens genomsnittliga albedo är ca 0.3 (se t.ex. https://earthobservatory.nasa.gov/IOTD/view.php?id=84499). Insättning av detta värde, tillsammans med solarkonstanten, och Stefan-Boltzmanns konstant ger  Ta≈ -18°C och Ts≈ 30°C

Att undersöka vidare:

Med små förändringar i kalkylark eller program kan man också undersöka

  • Hur påverkas temperaturerna av en ändring i albedo?
  • Hur ändras resultaten om bara en del av värmestrålningen absorberas?

I verkligheten sker absorptionen inte bara i ett lager av atmosfären, vilket leder till mer komplicerade modeller.